Что такое геометрическая прогрессия?

1
Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число. Таким образом, геометрическая прогрессия – это числовая последовательность заданная соотношениями

bn+1 =bn· q, где bn...

0 0
2

Геометрическая прогрессия не менее важная в математике по сравнению с арифметической. Геометрической прогрессией называют такую последовательность чисел b1, b2,..., b[n] каждый следующий член которой, получается умножением предыдущего на постоянное число. Это число, которое также характеризует скорость роста или убывания прогрессии называют знаменателем геометрической прогрессии и обозначают

Для полного задания геометрической прогрессии кроме знаменателя необходимо знать или определить первый ее член. Для положительного значения знаменателя прогрессия является монотонной последовательностью, причем если это последовательность чисел является монотонно убывающей и при монотонно возрастающей. Случай, когда знаменатель равен единице на практике не рассматривается, поскольку имеем последовательность одинаковых чисел, а их суммирование не вызывает практического интереса

Общий член геометрической прогрессии вычисляют по формуле

Сумма n...

0 0
3

Прогрессия — последовательность величин, каждая последующая из них находится в некоторой, общей для всей прогрессии, зависимости от предыдущей.

Арифметическая прогрессия.

Арифметическая прогрессия - это ряд чисел, в котором все член получаются из предыдущего методом добавления к нему 1-го и того же числа d, которое называется разностью арифметической прогрессии.

Или другими словами: арифметическая прогрессия — численная последовательность, которая имеет вид:

,

т.е. последовательность чисел (членов прогрессии), в которой числа, начиная со 2-го, получаются из предыдущего путем добавления к нему постоянного числа (шаг либо разность прогрессии):

Всякий (n-й) член прогрессии можно вычислить с помощью формулы общего члена:

Арифметическая прогрессия - это монотонная последовательность. При она возрастает, а при — убывает. Если , то последовательность - стационарная. Это следуют из соотношения для членов арифметической...

0 0
4

А вы знаете удивительную легенду о зернах на шахматной доске?

Легенда о зернах на шахматной доске

Когда создатель шахмат (древнеиндийский математик по имени Сесса) показал своё изобретение правителю страны, тому так понравилась игра, что он позволил изобретателю право самому выбрать награду. Мудрец попросил у короля за первую клетку шахматной доски заплатить ему одно зерно пшеницы, за второе — два, за третье — четыре и т. д., удваивая количество зёрен на каждой следующей клетке. Правитель, не разбиравшийся в математике, быстро согласился, даже несколько обидевшись на столь невысокую оценку изобретения, и приказал казначею подсчитать и выдать изобретателю нужное количество зерна. Однако, когда неделю спустя казначей всё ещё не смог подсчитать, сколько нужно зёрен, правитель спросил, в чём причина такой задержки. Казначей показал ему расчёты и сказал, что расплатиться невозможно.С изумлением внимал царь словам старца.

— Назови же мне это чудовищное число, –...

0 0
5

Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называется числовая последовательность задаваемая двумя параметрами b, q (q...

0 0
6
Геометрическая прогрессия. Алгебра – 9 класс

Урок и презентация на тему:
"Числовые последовательности. Геометрическая прогрессия, формула, сумма"



Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Урок и презентация на тему: "Числовые последовательности. Геометрическая прогрессия" Power Point (PPTX)

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 9 класса
Степени и корни Функции и графики


Ребята, сегодня мы познакомимся с еще одним видом прогрессии.
Тема сегодняшнего занятия – геометрическая прогрессия.

Геометрическая прогрессия


Определение. Числовая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен произведению предыдущего и некоторого фиксированного числа, называется геометрической прогрессией.
Зададим нашу последовательность...
0 0
7
Формулы геометрической прогрессии

В математике геометрической прогрессией называется последовательность чисел, в которой каждое следующее число получается умножением предыдущего на определённое число (знаменатель прогрессии).

геометрическую прогрессию можно записать в виде:

aq0=a, aq1=aq, aq2, q3, ... где q...

0 0
8

Геометрическая прогрессия

Пример геометрической прогрессии: 2, 6, 18, 54, 162.

Здесь каждый член после первого в 3 раза больше предыдущего. То есть каждый последующий член является результатом умножения предыдущего члена на 3:

2 · 3 = 6

6 · 3 = 18

18 · 3 = 54

54 · 3 = 162.

Знаменатель геометрической прогрессии.

В нашем примере при делении второго члена на первый, третьего на второй и т.д. мы получаем 3. Число 3 и является знаменателем данной геометрической прогрессии.

Свойства геометрической прогрессии:

Пример:
Вернемся к нашей геометрической прогрессии 2, 6, 18, 54, 162. Возьмем четвертый член и возведем его в квадрат:

542 = 2916.

Теперь перемножим члены, стоящие слева и справа от числа 54:

18 · 162 = 2916.

Как видим, квадрат третьего члена равен произведению соседних второго и четвертого членов.

Как найти определенный член геометрической прогрессии.

Пример 1:...

0 0
9

Геометрическая прогрессия – это такая последовательность, отношение каждого члена которой, начиная со второго, к предыдущему есть число постоянное.

Это число q называется знаменателем геометрической прогрессии.

т.е.

Определение можно дать иначе. Геометрическая прогрессия – это такая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число.


т.е.

является средним геометрическим предшествующего и последующего члена.

является средним геометрическим предшествующего и последующего члена.

Это справедливо для любого члена арифметической прогрессии, кроме первого и последнего. Более того, это критерий для определения, является ли данная последовательность геометрической прогрессией.

Докажем, что

.

Основной прием:

выразить данные через .

Равенство...

0 0
10

Определение геометрической прогрессии

Определение. Последовательность, каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего умножением на одно и то же число , называется геометрической прогрессией. Число называется знаменателем прогрессии.

То есть геометрическая прогрессия определяется рекуррентным соотношением

Итак, для n-го члена геометрической прогрессии справедлива формула

Теорема 2. Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего членов:

Доказательство. Из определения геометрической прогрессии

Следовательно,

откуда

Обратное утверждение тоже верно. Если для всех членов последовательности начиная со второго, выполняется равенство то эта последовательность — геометрическая прогрессия.

Сумма первых n членов геометрической прогрессии

Вычислим сумму первых n членов...

0 0
11
Что такое геометрическая прогрессия и её сумма

16 января 2016

В этом видеоуроке мы познакомимся с новым понятием — геометрической прогрессией. Научимся считать её элементы, изучим различные формулы (рекуррентную и формулу n-го элемента), а также сумму геометрической прогрессии.

В целом надо понимать, что геометрическая прогрессия — совсем несложный объект. Чаще всего проблемы возникают из-за того, что ученики привыкли работать с уравнениями, числами, функциями — в общем, какими-то законченными объектами. Но никак не с последовательностями, которые по определению бесконечны.

На самом деле всё это вполне доступно даже начинающим ученикам со слабым уровнем математической подготовки. И сегодня вы в этом убедитесь.:)

Смотрите также:

Учимся применять формулу n-го члена арифметической прогрессии для нахождения её первого элемента и разности. Формула n-го элемента для арифметической прогрессии — учимся применять в реальных вычислениях. Что такое...
0 0

Реклама

Не нашли ответа?