Что такое линейное нормированное пространство?

1

§ 2. Метрические пространства.

Сходимость в метрических пространствах.

В данном параграфе вводится понятие расстояния между элементами абстрактных множеств. Это понятие будет обобщением понятия расстояния между элементами числовой прямой, плоскости и трехмерного векторного пространства.

Определение 1. Пусть - произвольное множество. Метрикой или расстоянием между элементами множества называется неотрицательная вещественнозначная функция определенная на декартовом произведении и удовлетворяющая следующим трем условиям (аксиомам):

, причем тогда и только тогда, когда (аксиома тождества);

2. для любых и (аксиома симметрии);

3. (аксиома треугольника).

Определение 2. Метрическим пространством называется пара , состоящая множества и введенной на этом множестве метрики .

В одном и том же множестве можно ввести несколько метрик, удовлетворяющих всем аксиомам. При этом получается несколько различных...

0 0
2
страница 1
Лекция № 13
Линейные непрерывные функционалы
Ранее мы рассматривали линейные функционалы в линейных пространствах. Как обычно, функционал – это отображение топологического линейного пространства в поле (действительных или комплексных) чисел:

.

Функционал называется непрерывным в точке , если существует такая окрестность точки , что

.

Функционал непрерывен всюду в , если он непрерывен в любой точке топологического векторного пространства .

Сейчас нас в основном интересуют линейные функционалы, т.е. аддитивные и однородные функционалы, определенные на линейном топологическом пространстве :

, , .

Если – конечномерное топологическое линейное пространство, то любой линейный функционал непрерывен в нем (докажите это!). В общем случае это, вообще говоря, не так.

Лемма 1. Если линейный функционал непрерывен в какой-либо одной точке топологического векторного пространства , то он непрерывен всюду в...

0 0
3

Содержание.

Введение……………………………………………………………………….2

Глава I. Нормированные пространства…………………………………..3

§1. Понятие нормированного пространства........................................3

§2. Пространства суммируемых функций…………………………...5

§3. Интеграл Лебега – Стилтьеса………………………………..........7

Глава II. Интерполяция в пространствах суммируемых функций….11

§1. Теорема Марцинкевича и ее применение……………………...11

§2.Теорема Рисса–Торина и ее применение ………………………15

Глава III. Пространства суммируемых последовательностей…..…....24

§1. Основные понятия……………………………………………….24

§2. Связь между коэффициентами Фурье -периодической функции и ее нормой в …………….……………………………25

Литература………………………………………………………………...28

Введение.

Понятие нормированного пространства – одно из самых основных понятий функционального анализа. Теория нормированных пространств была построена, главным образом, С.Банахом...

0 0
4

Пусть L - линейное пространство. Функция р, определенная на L, называется нормой, если она удовлетворяет следующим трем условиям:

1) р(х)...

0 0
5
Нормированные пространства

1

Содержание.

Введение……………………………………………………………………….2

Глава I. Нормированные пространства…………………………………..3

§1. Понятие нормированного пространства........................................3

§2. Пространства суммируемых функций…………………………...5

§3. Интеграл Лебега - Стилтьеса………………………………..........7

Глава II. Интерполяция в пространствах суммируемых функций….11

§1. Теорема Марцинкевича и ее применение……………………...11

§2.Теорема Рисса-Торина и ее применение ………………………15

Глава III. Пространства суммируемых последовательностей…..…....24

§1. Основные понятия……………………………………………….24

§2. Связь между коэффициентами Фурье -периодической функции и ее нормой в …………….……………………………25

Литература………………………………………………………………...28

Введение.

Понятие нормированного пространства - одно из самых основных понятий функционального анализа. Теория нормированных пространств была построена,...

0 0
6
Наилучшее приближение в линейном нормированном пространстве. Наилучшее приближение в линейном нормированном пространстве.

1. Общие сведения

Прежде чем приступить к непосредственному обсуждению задачи о приближении, напомним некоторые определения.

Множество называется линейным нормированным пространством,если оно линейно и каждому элементу поставлено в соответствие вещественное число , которое называется нормой и удовлетворяет условиям:

a. , причем , только когда .

b. для любого числа .

c. .

Линейное нормированное пространство называется строго нормированным,если из равенства следует, что .

Рассмотрим следующую задачу. Пусть имеется некоторое линейное нормированное пространство , элемент и набор линейно- независимых элементов .

Требуется найти наилучшее приближение для некоторой линейной комбинацией , то есть , найти элемент

такой, что

.

Если такой элемент существует, то он...

0 0
7
Линейные нормированные пространства.

Определение: пусть E – линейное пространство, Нормой эле-

мента x называется функция : со свойствами (аксиомами нор-

мы):

действительное (комплексное) число;

– аксиома треугольника.

Линейное пространство E , на котором введена норма, называется ли-

нейным нормированным пространством.

Замечание: всякое нормированное пространство становится метриче-

ским, если в нем ввести расстояние по формуле . Справед-

ливость аксиом метрического пространства следует из аксиом нормы (см.

задачу 1). Таким образом, нормированные пространства обладают всеми

свойствами, установленными ранее для метрических пространств. Однако,

не каждое метрическое пространство может быть нормированным с нор-

мой, согласованной с метрикой.

Определение: линейное нормированное пространство называется ба-

наховым, если оно полно (относительно сходимости по метрике

,...

0 0

Реклама

Не нашли ответа?