Что такое метрика?Что такое метрическое пространство?

1

Метрика – это функция, которая определяет расстояние в метрическом пространстве. Но, кроме того, метрикой также называют область стиховедения, раздел музыкальной теории и др.

В этой статье расскажем подробнее, что такое метрика и разберемся с основными понятиями данного слова.

Основные значения слова "метрика"

Метрическое пространство

Метрикой или метрическим множеством в математике называется множество, которым определяется расстояние между определенной парой элементов. Как правило, расстояние между точками x и y в метрике М обозначается d(x,y) либо p(x,y).

Метрика как литературный термин

Метрика – многозначный лингвистический и литературный термин. В частности, метрикой называют область стиховедения, учение о строении стихотворной строки.

Метрика как свидетельство о рождении

Метрикой также ранее называли свидетельство о рождении, поскольку все записи о рождениях велись в специальной метрической книге.

Метрика...

0 0
2

- основная геом. структура, к-рой наделяется пространственно-временное многообразие в специальной и общей теории относительности; определяется заданием поля симметричного ковариантного тензора 2-го ранга с отличным от нуля определителем - метрического тензора.

Метрич. тензор в спец. теории относительности имеет вид (1, -1, -1, -1) (псевдоэвклидова метрика сигнатуры -2); пространственно-временное многообразие с такой метрикой наз. пространством-временем Минковского. В общей теории относительности вводится метрич. тензор более общего вида, удовлетворяющий, однако, требованию, c спец. выбором координат можно было свести к ; такое пространство-время (п.-в.) является пссвдоримановым пространством сигнатуры -2.

M. п.-в. задаёт квадрат интервала- "расстояния" между событиями, с к-рыми сопоставляются точки п.-в.:


При преобразованиях пространственно-временных координат метрич. тензор, вообще говоря, изменяется (такие...

0 0
3

- множество Xвместе с нек-рой метрикойr на ном. Теоретико-множественный подход к изучению фигур (пространств) основан на исследовании взаимного расположения составляющих их элементарных частей. Одной из фундаментальных характеристик взаимного расположения точек пространства является расстояние между ними. Этот подход к пространственным отношениям и приводит к понятию М. п., впервые выделенному М. Фрепте [2] в связи с рассмотрением функциональных пространств. Оказалось, что естественную метрику несут на себе множества объектов самой разной природы. Как М.

Развитие теории М. п. шло по следующим важнейшим направлениям.

Общая теория М. п. В ней исследуются свойства М. п., инвариантные относительно изометрий - взаимно однозначных отображений на, сохраняющих расстояние. К числу таких свойств относятся полнота, ограниченность, вполне ограниченность, диаметр. Свойства этого типа наз. метрическими.

Топологическая теория М. компактность, сепарабельность,...

0 0
4

§ 1.5. Метрическое пространство

1.5.1. Понятие метрического пространства.

Пусть - множество элементов произвольной природы.

Множество называется метрическим пространством, если любой паре его элементов поставлено в соответствие неотрицательное число , называемое расстоянием между элементами и , удовлетворяющее следующим свойствам (аксиомам расстояния):

1) тогда и только тогда, когда ;

2) ;

3) .

Аксиома 3) обычно называется неравенством треугольника. Функцию от двух аргументов , будем называть еще метрикой пространства .

Легко видеть, что -мерное пространство с метрикой

,

где , является метрическим пространством.

Множество всех непрерывных функций, заданных на , будет метрическим пространством, если метрику ввести по формуле

(1)

Аксиомы расстояния легко проверяются.

В дальнейшем выражение будет обозначать некоторую последовательность элементов...

0 0
5

Что такое метрика? Для чего служит? Является ли физическим полем?

Метрика в наше время прочно связана с теорией гравитации, благодаря трудам Гильберта и Эйнштейна совместно с Гроссманом. Однако в математике она была введена задолго до этого. Если не ошибаюсь, среди первых кто так или иначе её использовал в явном виде, были Риман и Гаусс. Сначала мы попробуем понять её роль в геометрии и уже потом посмотрим, каким образом метрика стала главной структурой ОТО, Общей Теории Относительности.

На сегодняшний день имеется достаточно развернутое и ясное определение метрических пространств довольно общего вида:

Метрическим пространством (“снабжёным метрикой”) в математике называют такое пространство, в котором для любых двух его упорядоченных точек (то есть одна из них названа первой, а другая – второй) определено действительное число такое, что оно равно нулю, тогда и только тогда, когда точки совпадают, и выполняется неравенство “треугольника” – для всяких трёх точек...

0 0
6
Метрические пространства

1. Определение. Основные примеры метрических пространств

Определение: Метрическим пространством называется пара , где – некоторое множество и –вещественная функция, удовлетворяющая для всех следующим аксиомам:

А1. и ;

А2. (аксиома симметрии);

А3. (аксиома треугольника).

Определение: Функция называется расстоянием или

метрикой на .

Если множество наделить другой метрикой , то получим другое метрическое пространство.

Примеры метрических пространств

1. Пространство изолированных точек.

Произвольное множество и

2. Множество действительных чисел с расстоянием образует метрическое пространство .

3. Множество упорядоченных групп из действительных чисел с называется – мерным арифметическим евклидовым пространством .

Доказательство.

Для того, чтобы доказать, что пространство является метрическим, необходимо проверить выполнимость...

0 0
7
Метрическое пространство

Будем множество называть метрическим пространством, если каждой паре элементов и этого множества поставлено в соответствие неотрицательное число , называемое расстоянием между элементами и , такое, что для любых элементов , , множества выполнены следующие условия:

(неравенство треугольника).

Элементы метрического пространства будем называть точками (векторами), функцию , определенную на множестве пар точек метрического пространства , — метрикой, а условия 1)-3) — аксиомами метрики. Например, определяя расстояние между вещественными числами и при помощи формулы , получаем метрическое пространство, которое обозначается через . Рассмотрим множество пар вещественных чисел . Если , а , то полагая , получаем метрическое пространство, которое обозначается через .

Метрическое пространство

Точками пространства являются упорядоченные совокупности из вещественных чисел , , . Расстояние между точками и определяется...

0 0
8

До Римана, Лобачевского, Эйнштейна и некоторых других товарищей геометрия строилась из плоскостей, невидимых точек и бесконечных в обе стороны прямых. Над плоско-трехмерным миром гордо реяло время, воспринимаемое нами как некий процесс, квантуемый для удобства на удары сердца и тиканье часов. Все привычно, прямолинейно, понятно, действуют силы, три координаты в пространстве можно определить где угодно - просто вбей колышек.

Конец идиллии настал с приходом математиков, исследующих на кончике пера многомерные пространства. Они строили сложные, многокоординатные объекты и системы, немыслимые для человеческого глаза и ощущений, например, знаменитый четырехмерный куб, лента Мёбиуса и прочее. Постепенно выяснилось, что воображаемое пространство необязательно должно состоять из плоскостей и прямых с процессом-временем, оно может состоять, например, из свернутого в трубку неправильной формы плоского листа, причем время является длиной оси, проведенной в центре трубки. Поставленная в...

0 0
9

Если > 0 множество M имеет конечную -сеть, то M называется вполне ограниченным.

Оказывается, что в полном метрическом пространстве компактность M равносильна вполне ограниченности M. Пусть Rd — замкнутое ограниченное множество; через C() oбозначаем пространство непрерывных на функций, (x, y) = max |x(t) y(t)|. Множество M C() называется равномерно ограниченным, если > 0 : |x(t)| x M при всех t. При этом постоянная не зависит от x(t). Равностепенная непрерывность множества M означает, что > 0 > 0, зависящая только от : t1,2, |t1 t2 |

Упражнение 1.10. Доказать, что множество вполне ограничено в C[0, 1].

Типичным примером компактного множества в C() является следующее:

1.6. Как линейное пространство сделать нормированным?

Рассмотрим линейное (векторное) пространство с умножением на вещественные числа.

Понятие линейного пространства носит чисто алгебраический характер. Для того, чтобы изучать в этом пространстве задачи, связанные со...

0 0
10
МЕТРИКА

(греч. metrike - наука о мере) 1) учение о стихосложении и размерах стихов. 2) в применении к музыке: учение о ритмическом размере тонов.

(Источник: «Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка». Чудинов А.Н., 1910)

МЕТРИКА

(греч.). 1) свидетельство о рождении и крещении. 2) книги в церквах, для записывания родившихся, умерших и бракосочетавшихся. 3) собрание актов о дворянских родах; родословные книги.

(Источник: «Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка». Чудинов А.Н., 1910)

МЕТРИКА

1) искусство стихосложения, учение о построении стиха, систематически изложенное по общим законам ритма и благозвучия; 2) то же, что и метрич. книга, а также и свидетельство.

(Источник: «Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка». Павленков Ф., 1907)

МЕТРИКА

1) учение о стихосложении, о размерах стиха; 2) книга о рождающихся, брачующихся и умерших; выписка из этой книги, выдаваемая местной консисторией для...

0 0
11

Одной из важнейших операций анализа является предельный переход. В основе этой операции лежит тот факт, что на числовой прямой определено расстояние от одной точки до другой. Многие фундаментальные факты анализа не связаны с алгебраической природой действи тельных чисел (т. е. с тем, что они образуют поле), а опираются лишь на понятие расстояния. Обобщая представление о действи тельных числах как о множестве, в котором введено расстояние между элементами, мы приходим к понятию метрического пространства - одному из важнейших понятий современной математики.

Метрическим пространством называется пара (Х, r), состоящая из некоторого множества (пространства) Х элементов (точек) и расстояния, т. е. неотрица тельной действительной функции r(х,у), определенной для лю бых х и у из Х и подчиненной следующим трем аксиомам:

1) r(х, у) = 0 тогда и только тогда, когда х = у,

2) r(х, у) = r(у, х) (аксиома симметрии),

3) r(х,...

0 0
12

5.1. Метрические и нормированные пространства. Полные пространства. Ортогональные системы функций.

Обобщая представление о действительных числах как о множестве, в котором введено расстояние между элементами, мы приходим к понятию метрического пространства — одному из важнейших понятий современной математики.

Определение 1. Множество X называется метрическим пространством, если каждой паре его элементов x и y поставлено в соответствие неотрицательное вещественное число , удовлетворяющее аксиомам:

1) тогда и только тогда, когда (аксиома тождества),

2) (аксиома симметрии),

3) (аксиома треугольника).

Число называется расстоянием (или метрикой) между элементами x и y пространства X.

Приведем примеры метрических пространств.

1. Множество действительных чисел с расстоянием

образует метрическое пространство R1 . Справедливость аксиом следует из свойств действительных чисел и неравенства...

0 0